Duration

Zwingend zu unterscheiden sind insbesondere:

• Macaulay Duration: gewichtete durchschnittliche Zeit bis zum Erhalt der abgezinsten Zahlungen,
• Modified Duration: näherungsweise prozentuale Kursreaktion auf eine kleine Änderung der Rendite.

Die beiden Größen sind eng miteinander verbunden, beantworten aber unterschiedliche Fragen. Ein Arbeitspapier der Forschungsabteilung der Federal Reserve (Finance and Economics Discussion Series) beschreibt die Macaulay Duration als gewichtete durchschnittliche Wartezeit auf die Zahlungsströme und die Modified Duration als lokale Preissensitivität gegenüber kleinen Renditeänderungen.

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Macaulay Duration

Die Macaulay Duration gewichtet jeden Zahlungszeitpunkt mit dem Anteil, den der Barwert der betreffenden Zahlung am gesamten Anleihepreis besitzt. Vereinfacht:

Dabei bezeichnet:

• $D_\text{Mac}$ die Macaulay Duration,
• $CF_t$ den Zahlungsstrom zum Zeitpunkt $t$,
• $y$ die verwendete Rendite je Periode,
• $P$ den heutigen Preis der Zahlungsströme.

Die Einheit ist regelmäßig eine Zeitangabe, beispielsweise Jahre. Der Begriff „durchschnittliche Kapitalbindungsdauer“ ist nur als vereinfachte Erklärung geeignet. Die Duration ist kein gewöhnlicher arithmetischer Durchschnitt der Zahlungstermine, sondern ein mit den abgezinsten Zahlungswerten gewichteter Mittelwert.

Beispiel

Eine zweijährige Anleihe zahlt:

• nach einem Jahr 50 Euro,
• nach zwei Jahren 1.050 Euro.

Bei einer Rendite von fünf Prozent betragen die Barwerte:

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Der Gesamtpreis beträgt in diesem vereinfachten Beispiel 1.000 Euro. Die Macaulay Duration lautet:

Obwohl die Anleihe erst nach zwei Jahren vollständig fällig wird, liegt ihre Macaulay Duration wegen der früheren Kuponzahlung geringfügig darunter.

Duration und Restlaufzeit

Restlaufzeit und Macaulay Duration sind nicht identisch. Bei einer einfachen Nullkuponanleihe liegt nur eine Zahlung am Laufzeitende. Ihre Macaulay Duration entspricht deshalb grundsätzlich ihrer Restlaufzeit. Bei einer gewöhnlichen Kuponanleihe erhält der Anleger bereits vor Fälligkeit Zahlungen. Ihre Macaulay Duration liegt daher grundsätzlich unter der Restlaufzeit. Bei ansonsten gleicher Laufzeit führt ein höherer Kupon regelmäßig zu einer kürzeren Duration, weil ein größerer Teil des Barwerts früher zurückfließt.

Modified Duration

Die Modified Duration leitet sich aus der Macaulay Duration ab und misst die näherungsweise prozentuale Preisänderung bei einer kleinen Renditeänderung. Bei jährlicher Verzinsung gilt vereinfacht:

Bei $m$ Verzinsungsperioden pro Jahr lautet eine gebräuchliche Form:

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Die näherungsweise Preisreaktion beträgt:

Das Minuszeichen zeigt die grundsätzlich gegenläufige Beziehung zwischen Preis und Rendite einer gewöhnlichen Festzinsanleihe.

Zahlenbeispiel zur Zinssensitivität

Angenommen:

• Modified Duration: 5,
• Renditeanstieg: 0,50 Prozentpunkte beziehungsweise 0,005.

Dann ergibt sich:

Der Anleihepreis würde nach der linearen Näherung um etwa 2,5 Prozent fallen. Bei einem Renditerückgang um 0,50 Prozentpunkte ergäbe die reine Durationsrechnung einen Kursanstieg von etwa 2,5 Prozent. Das tatsächliche Ergebnis ist nicht exakt symmetrisch, weil die Preis-Rendite-Beziehung gekrümmt ist. Diese Nichtlinearität wird durch die Konvexität erfasst. Die Modified Duration ist vor allem für kleine Renditebewegungen eine brauchbare Näherung.

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Einflussfaktoren

Bei gewöhnlichen Anleihen gilt unter sonst vergleichbaren Bedingungen häufig:

• längere Restlaufzeit → höhere Duration,
• niedrigerer Kupon → höhere Duration,
• frühere Rückzahlungen → niedrigere Duration.

Eine niedrigere Rendite erhöht rechnerisch die Modified Duration, da sie im Nenner der Formel steht. Diese Zusammenhänge können durch Kündigungsrechte, Tilgungspläne, variable Verzinsung oder andere Vertragsmerkmale verändert werden.

Effektive Duration

Bei Anleihen mit eingebetteten Optionen können sich die erwarteten Zahlungsströme ändern, wenn sich das Zinsniveau bewegt. Beispiele sind:

• kündbare Anleihen,
• hypothekenbesicherte Wertpapiere,
• Instrumente mit vorzeitigen Tilgungsrechten,
• strukturierte Schuldverschreibungen.

In solchen Fällen wird häufig eine effektive Duration aus modellierten Preisänderungen bestimmt:

Dabei sind:

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• $P_-$ der modellierte Preis bei niedrigerer Rendite,
• $P_+$ der modellierte Preis bei höherer Rendite,
• $P_0$ der Ausgangspreis.

Die effektive Duration ist modellabhängig. Ihre Aussagekraft hängt unter anderem von Zins-, Volatilitäts-, Kündigungs- und Vorfälligkeitsannahmen ab.

Portfolioduration

Für ein einfaches Anleiheportfolio kann die Duration näherungsweise als marktwertgewichteter Durchschnitt der Einzeldurationen berechnet werden:

Dabei muss für alle Positionen dieselbe Durationart und eine konsistente Berechnungsmethodik verwendet werden. Bei Derivaten, Short-Positionen, Optionen oder stark nichtlinearen Zahlungsstrukturen reicht ein einfacher Durchschnitt regelmäßig nicht aus. Zusätzlich können Nominalwerte, Kontraktfaktoren, Hebel und effektive Sensitivitäten berücksichtigt werden müssen.

Grenzen der Kennzahl

Duration erfasst nicht automatisch:

• Ausfallrisiko,
• Kreditspreadänderungen,
• Liquiditätsrisiko,
• Währungsrisiko,
• nicht parallele Bewegungen der Zinsstrukturkurve,
• große Renditesprünge,
• veränderte Zahlungsströme.

Eine Anleihe mit kurzer Duration kann weiterhin ein hohes Kredit- oder Liquiditätsrisiko besitzen. Umgekehrt bedeutet eine hohe Duration nicht automatisch eine schlechte Anlage; sie beschreibt zunächst eine stärkere Zinssensitivität.